Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen
1.1 Herleitung der Formeln
1.1.1 Berechnung des Hauptebenabstands HH'
1.1.2 Herleitung der Formel der Brennweite f
1.1.3 Herleitung der Formel für den Hauptebenabstand HH'
1.2 Definition paraxialer Strahlen
1.3 Brennweite und Brennpunkt bei Linsen
1.4 Hauptebene
1.5 Dispersion
1.5.1 Dispersionsformel
1.6 Abbildungsfehler
2. Aufgabenstellung
2.1 Hinweise zur Versuchsdurchführung
3. Versuchsaufbau
4. Meßwerte
4.1 Linse 1; Filter: rot
4.2 Linse 2; Filter: rot
4.3 Linse 3; Filter: rot
4.4 Linse 3; Filter: blau
4.5 Linse 4; Filter: rot
5. Fehlerrechnung
5.1 Feste Fehlerschranken
5.2 Errechnete Fehlerschranken
6. Zusammenfassung der errechneten Werte
7. Abschlußbetrachtung
1. Grundlagen
1.1 Herleitung der Formeln
1.1.1 Berechnung des Hauptebenabstands HH'
Brechzahl des Linsenmaterials:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Scheiteldicke der Linsen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1.1.2 Herleitung der Formel der Brennweite f
Aus den Formeln der Versuchsanleitung erhalten wir:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Mit Hilfe des TI-92 lösen wir nun zur Brennweite hin auf:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1.1.3 Herleitung der Formel für den Hauptebenabstand HH'
Wieder verwenden wir die Formel für die Differenz e:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese Formel wird nun mit mit Hilfe des TI-92 zum Hauptebenenabstand hin umgeformt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1.2 Definition paraxialer Strahlen (Gaußsche Dioptik)
■ 1 3 1 j
Sin [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Paraxiale Strahlen sind achsennahe Strahlen, eine Abbildung erster Ordnung. Es existieren keine Abbildungsfehler. In diesem Bereich wird die Reihenentwicklung der Sinusfunktion, eine Beschränkung auf das erste Glied vorgenommen, was für den Gültigkeitsbereich der Formel zu beachten ist.
1.3 Brennweite und Brennpunkt bei Linsen
Der Brennpunkt ist der Punkt, in dem sich achsenparallele Lichtstrahlen nach der Brechung durch eine Linse oder Reflexion an einem Hohlspiegel annähernd verneigen. Die entfernung des Brennpunktes vom Hauptpunkt nennt man Brennweite. Ihre Größe ist vom Krümmungsradius und bei der Linse außerdem von der Brechzahl abhängig.
Die Brennweite läßt sich wie folgt berechnen:
f : Brennweite der Linse
n : Brechzahl des Linsenmaterials
r1: Krümmungsradius der stark gekrümmten Seite
r1: Krümmungsradius der schwächer gekrümmten Seite
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
1.4 Hauptebene
Die Hauptebene steht senkrecht zur Feldebene. Sie enthält die Strahlenfeldachse und eine Parallele zu einer der wirksamen Kanten des Blendensystems.
1.5 Dispersion
Die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge bezeichnet man als Dispersion. Im sichtbaren Spektrum wächst die Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge, andernfalls spricht man von anomaler Dispersion.
1.5.1 Dispersionsformel
Zur Ausgleichung und Interpolation eignet sich gut die Hartmannsche empirische
Dispersionsformel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
mit vier Konstanten, von denen a meist zwischen 0,5 und 2 liegt (oft führt schon eine einfache Form mit a=1 zum Ziel).
1.6 Abbildungsfehler
Eine einzelne Linse verursacht zahlreiche Abbildungsfehler, die sich in Unschärfen, Farbsäumen und Verzerrungen äussern. In Objektiven kombiniert man daher mehrere Linsen aus unterschiedlichen Glassorten, um die Fehler möglichst weitgehend zu eliminieren. Diese Korrektur ist so weit fortgeschritten, dass heute nur wenige Leistungsschwächen in der Abbildung eindeutig einem dieser Fehler zugeordnet werden können.
Die Sphärische Abberation (Öffnungsfehler) tritt auf, weil die Linsenoberfläche eine Kugeloberfläche beschreibt. Die Bündelung parallel eintreffender Strahlen in einen Brennpunkt ist daher nur für achsennahe Strahlen gegeben. Asphärische Linsen mit parabelförmigem Querschnitt vermeiden diesen Fehler, sind aber in hoher optischer Qualität sehr teuer zu fertigen. Das scharfe Kernbild wird durch die sphärische Abberation von einem unscharfen überlagert, was bei Weichzeichnerobjektiven, bei denen dieser Fehler absichtlich nicht korrigiert ist, ausgenutzt wird.
Die Chromatische Abberation (Farblängsfehler) tritt auf, weil der Linsenrand das Licht wie ein Prisma in seine spektralen Bestandteile zerlegt. Schlechte Korrektur führt im Bild zu Farbsäumen. Da das Licht, welches die Linse am Rand passiert, am meisten zur Abberation beiträgt, verringern sich diese Fehler mit dem Abblenden. Er lässt sich korrigieren, indem zwei Linsen aus unterschiedlichen Glassorten zu einer sogenannten Gruppe zusammengekittet werden. Man wählt die Glassorten so, dass der rote und der blaugrüne Spektralteil zusammenfällt. Man bezeichnet diese Konstruktionen als Achromaten, den nicht korrigierten Spektralteil als sekundäres Spektrum. Aufwendigere Konstruktionen, bei denen drei Wellenlängen zusammenfallen, bezeichnet man als Apochromaten. Der Mehraufwand lohnt sich insbesondere bei langen Brennweiten. Bei Spiegelobjektiven tritt chromatische Abberation nicht auf.
Der Farbvergrösserungsfehler (Farbquerfehler) hat ähnliche Ursachen wie die chromatische Abberation: Die roten, grünen und blauen Teilbilder werden unterschiedlich gross abgebildet. Dies hat zur Folge, dass der Fehler nicht in der Bildmitte, zum Rand und zu den Ecken hin jedoch immer stärker auftritt. Der Fehler ist unabhängig von der Blende, die Korrektur bei der Objektivkonstruktion erfolgt wie bei der chromatischen Abberation.
2. Aufgabenstellung
1. Leiten Sie zur Versuchsvorbereitung die benötigten Endformeln zur f- bzw. HH’ - Bestimmung auf dem oben skizzierten Weg ausführlich ab. Vergessen Sie dabei nicht, auch die Formeln für die Fortpflanzung der Meßunsicherheit der primären Meßgrößen (Fehlerfortpflanzung) aufzustellen.
2. Bestimmen Sie die Brennweite f der Sammellinsen (L1 bis L3) für rotes Licht, wobei der benötigte Hauptebenenabstand, HH’ aus einer Messung der Scheiteldicke d über Formel (1) ermittelt wird (Brechzahl des Linsenmaterials n= 1,52).
Zur Ermittlung der Meßunsicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] max (maximaler absoluter Fehler) benötigen Sie mindestens 10 Positionswertepaare al' , und a2'.
Aus diesen Daten errechnen Sie zunächst LaFImax und I_a2'Imax; die Meßfehler _A (Ablesefehler) und _HH' (systematischer Fehler; unter Verwendung von Formel (1) zu ermitteln) schätzen Sie ab. Schließlich wird l_flmax nach der Methode der Fehlerfortpflanzungsrechnung ermittelt.
3. Bestimmen Sie die Brennweite von einer der Sammellinsen auch mit blauem Licht und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Wert für totes Licht. Interpretieren Sie das Ergebnis.
4. Für ein Projektionsobjektiv der Fa. LEITZ mit der Brennweite f1 = lOO mm bestimmen Sie bitte den Hauptebenenabstand HH’ für rotes Licht, ebenfalls unter Verwendung von mindestens 10 Positionswertepaaren al’ und a2’.
Die Berechnung der Meßunsicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] max erfolgt analog zu Aufgabe 2; die Genauigkeit der f - Angabe auf dem Objektiv können Sie mit ±2% annehmen.
2.1 Hinweise zur Versuchsdurchführung:
a) Die Bearbeitung von Aufgabe 1 gehört bereits zur Versuchsvorbereitung.
b) Justieren der Beleuchtungsoptik: Der Abstand Glühlampe -Kondensorlinse ist über den axial verschiebbaren Glühlampeneinsatz einstellbar. Die Einstellung soll so erfolgen, daß das Bild des Glühwendels im Bereich der auszumessenden Linse / des Objektivs liegt und damit jeweils nur einen achsnahen (paraxialen) Bereich von ca. 3Omm Durchmesser ausleuchtet.
c) Justieren Sie bitte den gesamten Strahlengang sauber auf Parallelität zur optischen Bank (Dreikantschiene); das Bild des Fadenkreuzes muß bis zum Rand scharf und darf nicht verzeichnet sein; es darf beim Verschieben der Linse nicht seitlich auswandern.
d) Passen Sie den Abstand A der jeweils zu erwartenden Brennweite f' an, die sich grob über die Abbildung eines weit entfernten selbstleuchtenden Objekts (Fensteröffnung, Raumleuchte) auf ein Blatt Papier (Justierschirm) ermitteln läßt: Bildebene = Brennebene der Linse. (Begründung zur Versuchsvorbereitung überlegen!)
Der Abstand A sollte auch nicht zu groß gewählt werden, damit im Fall der kleineren Bildweite das Bild des Fadenkreuzes erkennbar bleibt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 1 Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 2 Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 3 Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 3 Filter: blau
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 4 Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
5. Fehlerrechnung
5.1 Feste Fehlerschranken
Für die Meßunsicherheit der direkt abgelesenen Werte wurde von uns das kleinste ablesbare Intervall der Skalierung der Anzeige gewählt. Daraus ergab sich...
...für die Werte auf der optischen Bank (Dreikantschiene): [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
...für die Messung der Scheiteldicke d mit einem Meßschieber: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
5.2 Errechnete Fehlerschranken
für die Abstände [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Messungen gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aufgabe 2:
Linse 1 ; Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 2; Filter: rot d = 24,25 ± 0,05mm
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Linse 3; Filter: rot
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aufgabe 3:
Linse 3; Filter: blau
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Wir vergleichen: Brennweite für rotes Licht: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Brennweite für blaues Licht: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
Die Brechzahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gibt das Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zur Geschwindigkeit von Licht im Medium (hier: Linse) an. Es gilt für das konkrete Beispiel:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Für die Geschwindigkeit von Wellen (Schall, Licht) gilt außerdem:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Wellenlänge _ für sichtbares Licht im Vakuum liegt im Bereich von 380nm(Übergang
Inf aro t) bis 7 8 (km (Übergang Ultraviolett), die Frequenz/von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Mit Hilfe der oben stehenden Formel kann man über Aufgabe 2 auf die Frequenz des roten Lichtes schließen, denn Geschwindigkeit und Wellenlänge sind gegeben. Es gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Da der Ablenkwinkel [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] vom
Brechungsindex [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abhängt, wird langwelliges Licht bei normaler Dispersion stärker gebrochen als kurzwelliges Licht, d.h. daß die Brennweite f von blauem Licht kleiner ist als die von rotem Licht.
Aufgabe 4:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dieses Ergebnis läßt zwei Möglichkeiten offen:
1. H liegt vor H' (kleines Ergebnis)
2. H und H’ liegen sehr weit auseinander (großes Ergebnis)
Da man sich das Leitz-Objektiv als ein System von mehreren Linsen vorstellen kann, kann man auch nach der Zusammenlegung aller Hauptebenen von einem Verhalten einer dicken Linse sprechen. In der Realität wäre jedoch eine so dicke Linse (bzw. großes Linsensystem) mit einem Hauptebenenabstand von HH' * 1— zu aufwendig, zu groß und zu teuer. Angesichts der größe des vorliegenden Objektivs vermuten wir daher, daß das richtige
Ergebnis ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
6. Zusammenfassung
Aufgabe 2: rotes Licht
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Aufgabe 3: blaues Licht
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Brennweite f für blaues Licht ist geringfügig kleiner als die für rotes Licht, weil langwellige Lichtstrahlen stärker durch die Linse gebrochen werden als kurzwellige.
Aufgabe 4: rotes Licht
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
7. Abschlußbetrachtung
Wenn man einen kurzen Blick auf die gemessenen Werte und deren Fehlerschranken wirft, so kann man feststellen, daß sie doch recht genau sind. Das klingt vielleicht verwunderlich, doch muß man bedenken, daß das Meßverfahren der Scheiteldicke dmehr als ungenau war. Das Hauptproblem dabei war, daß die kleinste Berührung ausreichte, um den Meßschieber wieder zu verstellen. Des weiteren war es sehr schwierig, das Bild mit dem Abstand a{ scharf einzustellen. Das lag vor allem daran, daß das Bild stark verkleinert auf dem Schirm wiedergegeben wurde.
Weniger problematisch war für uns die Vorbereitung, obwohl wir den Stoff noch nicht in der Vorlesung behandelt hatten. Allerdings hätte das Vorbereiten der gesuchten Formeln ohne den TI-92 eine ganze Weile länger gedauert.
Häufig gestellte Fragen
Was sind die Grundlagen dieses Dokuments?
Dieses Dokument behandelt die Grundlagen der Optik, einschließlich der Herleitung von Formeln für den Hauptebenabstand, die Brennweite, der Definition paraxialer Strahlen, der Beschreibung von Brennweite und Brennpunkt bei Linsen, der Hauptebene, der Dispersion und Abbildungsfehlern.
Wie wird der Hauptebenabstand HH' berechnet?
Die Berechnung des Hauptebenabstands HH' erfolgt mithilfe von Formeln, die von der Brechzahl des Linsenmaterials und der Scheiteldicke der Linse abhängen. Details zur Herleitung sind im Dokument enthalten.
Wie wird die Brennweite f hergeleitet?
Die Formel für die Brennweite f wird aus den Formeln der Versuchsanleitung hergeleitet. Der Prozess der Lösung zur Brennweite wird im Dokument detailliert beschrieben.
Was sind paraxiale Strahlen (Gaußsche Dioptik)?
Paraxiale Strahlen sind achsennahe Strahlen, die eine Abbildung erster Ordnung darstellen. In diesem Bereich existieren keine Abbildungsfehler, und die Reihenentwicklung der Sinusfunktion wird auf das erste Glied beschränkt.
Was sind Brennweite und Brennpunkt bei Linsen?
Der Brennpunkt ist der Punkt, in dem sich achsenparallele Lichtstrahlen nach der Brechung durch eine Linse oder Reflexion an einem Hohlspiegel annähernd vereinigen. Die Brennweite ist der Abstand des Brennpunktes vom Hauptpunkt und hängt vom Krümmungsradius und der Brechzahl ab.
Was ist die Hauptebene?
Die Hauptebene steht senkrecht zur Feldebene und enthält die Strahlenfeldachse und eine Parallele zu einer der wirksamen Kanten des Blendensystems.
Was ist Dispersion?
Dispersion ist die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge. Im sichtbaren Spektrum wächst die Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge.
Was sind Abbildungsfehler?
Abbildungsfehler sind Fehler, die durch eine einzelne Linse verursacht werden und sich in Unschärfen, Farbsäumen und Verzerrungen äußern. Beispiele sind Sphärische Aberration (Öffnungsfehler) und Chromatische Aberration (Farblängsfehler).
Welche Aufgabenstellung wird in dem Dokument behandelt?
Die Aufgabenstellung umfasst die Herleitung von Formeln zur f- bzw. HH’-Bestimmung, die Bestimmung der Brennweite von Sammellinsen für rotes und blaues Licht, den Vergleich der Ergebnisse und die Bestimmung des Hauptebenenabstands für ein Projektionsobjektiv.
Welche Hinweise zur Versuchsdurchführung werden gegeben?
Hinweise zur Versuchsdurchführung umfassen das Justieren der Beleuchtungsoptik, das Justieren des Strahlengangs auf Parallelität zur optischen Bank und das Anpassen des Abstands A an die zu erwartende Brennweite.
Welche Meßwerte werden präsentiert?
Es werden Meßwerte für verschiedene Linsen (L1 bis L4) und Filter (rot, blau) präsentiert. Die Meßwerte umfassen Positionswertepaare zur Bestimmung der Brennweite und des Hauptebenenabstands.
Wie erfolgt die Fehlerrechnung?
Die Fehlerrechnung umfasst feste Fehlerschranken für direkt abgelesene Werte sowie errechnete Fehlerschranken für die Abstände. Die Fehlerfortpflanzungsrechnung wird verwendet, um die Meßunsicherheit zu bestimmen.
Wie werden die errechneten Werte zusammengefasst?
Die errechneten Werte werden in Tabellen zusammengefasst, wobei die Brennweite f für rotes und blaues Licht sowie der Hauptebenenabstand HH' für ein Projektionsobjektiv angegeben werden.
Was ist das Fazit der Abschlußbetrachtung?
Die Abschlußbetrachtung beurteilt die Genauigkeit der gemessenen Werte und Fehlerschranken und geht auf die Herausforderungen bei der Messung der Scheiteldicke d und der Schärfeneinstellung ein. Außerdem werden der Versuchsablauf und die Auswertung der Meßreihen kommentiert.
- Quote paper
- Alex; Rau Schnoor (Author), 1999, Brennweitenbestimmung nach Bressel, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/96356
