Es handelt sich um eine Zusammenfassung der Vorlesungen: "Mathematische Grundlagen der klassischen Physik" und "Experimentalphysik I" (klassische Mechanik und Thermodynamik).
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Zusammenfassung
Mathematische Grundlagen der Physik
1. Vektoren
1.1. Winkel zw. Zwei Vektoren
cos( ) =
| |
| | | |
1.2. Projektion in -Richtung:
||
= ( ê ) ê
1.3. Kreuzprodukt (||:Fläche)
× =
-
-
-
weil ê × ê = ê
× =
ê
BAC-CAB: × × = ( ) - ( )
1.4. Spatprodukt (Volumen des Spats)
× = ( × ) = × =
, ,
, ,
2. Vektorfunktionen
2.1. Taylorentwicklung:
( ) =
( )
( )
!
( - )
3. Feld (Funktion von Vektoren)
3.1. Skalarfelder
() = ( , , )
3.2. Vektorfelder
() = ( , , )
3.3. Totales Differenzial
=
+
+
2
3.4. Gradient (Skalarfelder Vektorfeld)
3.4.1. Richtung der größten Steigung:
= =
3.4.2. Rechenregeln
3.4.2.1.
( + ) = +
3.4.2.2.
( ) = +
3.5. Divergenz (VektorfelderSkalarfeld)
3.5.1. Quellstärke des Feldes :
= =
+
+
3.5.2. Rechenregeln
3.5.2.1.
+ = +
3.5.2.2.
= + = grad + div
3.6. Rotation (Vektorfeld Vektorfeld)
3.6.1. Grad der Verwirbelung
= × =
, ,
ê
, ,
=
-
-
-
3.6.2. Rechenregeln
3.6.2.1.
× + = × + ×
3.6.2.2.
= ( × ) + g ×
3.7. Anwendung in der Physik:
3.7.1. Kräfte ~ - heißen konservativ, V ist ihr Potential:
+
=
.
3.7.2. Divergenz & Rotation
3.7.2.1.
= 0 Quellenfrei
3.7.2.2.
= 0 Wirbelfrei
3.8. Sonstiges:
= 0
= 0
= =
3
4. Krummlinige Koordinaten
4.1. Kkoordinaten:
= cos( ); = sin( )
4.2. Zylinderkoordinaten
= cos
= sin
=
4.3. Kugelkoordinaten
= sin
= sin sin
= cos
4.4. Einheitsvektoren:
Hier: Polarkoordinaten
ê =
1
=
= -
4.5. Partialelemente (von s (z.B. kartesisch) nach y (z.B. Kugel))
Längenelement
=
Flächenelement
=
=
Volumenelement
=
Partialelemente:
Zylinderkoordinaten:
=
,
=
,
=
=
=
Kugelkoordinaten:
=
,
=
,
= sin( )
=
= sin
4
5. Grundprobleme der Dynamik
5.1. Bewegung (Polarkoordinaten):
=
ê +
ê
= ê
( -
)
+ ê
(2
+ + )
5.2. Kinetische Energie auf einer Bewegung (Polarkoordinaten):
=
1
2
=
1
2
ê +
ê
=
1
2
(
+
) =
1
2
+
1
2
ä
=
1
2
: "
"
+
1
2
: "
"
5.3. Pendel:
+
= 0 harmonischer Oszillator
Lösung ( ) ist Schwingung mit Frequenz =
Ansatz: ( ) =
sin
+ cos
bzw. X(t) = C e
5.4. Bewegung im konservativen radialsymmetrischen Kraftfeld ( = - ):
5.4.1. =
× =
ê mit ê = ê
5.4.2. =
+ ( ) =
+
+ ( ) =
+
²
+ ( )
( ) ist gegen durch - .
( ) ist minimal bei
( ) = -
+
= 0 =
Wenn =
bildet sich eine Kreisbahn heraus. Ansonsten: Ellipsenbahn mit
(
) =
(
) =
6. Komplexe Zahlen
= +
= | | ^(arg ( ))
Argument: arg ( ) =
arctan = arcsin = arccos ;
| | = = = + ;
=
=
Also: =
+
=
= cos + sin
Komplexe Wurzel
=
| |
Gesucht: = +
N-te Wurzeln liegen auf einem Kreis mit Radius | |
haben n verschiedene, äquidistante Winkel zu reellen Achsen
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7. Matrizen und Tensoren
7.1. Rechenregeln:
(
) =
7.2. Drehmatrix D
7.2.1. Zeilen sind paarweise orthogonal
=
=
7.2.2. det
= 1
7.2.3. Drehachse: Alle Vektoren, die nicht verändert werden.
7.2.4. Drehwinkel: Vektor zu Drehachse. Dann drehen und Winkel bestimmen
7.3. Determinante
7.3.1. det(
) =
det( )
7.3.2. det( ) = det( ) det( ) = det( )
7.3.3. det( ) = 1
7.3.4. det
=
Wenn det( ) = 0 ex.
nicht (
= )
7.4. Eigenwerte und Eigenvektoren
7.4.1. Eigenvektoren und Eigenwerte von A:
( -
) = 0
Hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn
nicht existiert.
det( -
) = 0
Eigenvektoren sind orthogonal!
7.5. Diagonalisieren von Matrizen H: :
=
= 0
0
0
0
0
0
7.5.1. Diagonalelemente von H` sind die EW von H
7.5.2. D besteht aus den EV von H
7.6. Trägheitstensor
= mit = ( - ) =
+
-
-
-
+
-
-
-
+
= ( ) + ( ) ...
Eigenwerte von sind die Hauptträgheitsmomente, Eigenvektoren die Hauptträgheitsachsen.
6
8. Differenzialgleichungen
, ( ), ( ) ...
( )
( ) = =
.
- n heißt Ordnung
- gewöhnlich wenn nur eine Variable (hier: x) auftaucht, sonst partiell
-
= 0 homogen
8.1. Homogene DGL n-ter Ordnung:
- n linear unabhängige Lösungen
- allg. Lsg. Der hom. DGL ( ) =
( )
- sei ( ) eine Lösung der inhom. DGL allg. Lösung der inhom. DGL ist ( ) +
( )
8.2. Koeffizienten
1)
( ) =
=
.
löst die Gleichung
2)
( ) =
löst die Gleichung
8.3. Lösung einer inhom. DGL
8.3.1. Finde allg. Lsg. der hom. DGL
8.3.2. Suche spezielle Lsg. der inhomogenen DGL ( )
8.3.3. allg. Lösung der inhom. DGL ist ( ) +
( )
Beispiel: +
=
cos( )
1.Finde allgemeine Lösung der homogenen DGL.
( ) =
(
+ ) löst +
= 0
Ein phasenverschobener Cosinus kann alle Link. Komb. Von Sinus und Kosinus darstellen.
2. Suche spezielle Lösung der inhom. DGl.
Ansatz: ( ) =
( ) = -
( ) = - ( )
Einsetzen:
[-
+
- ] cos( ) = 0
=
-
3. allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist dann:
( ) =
-
cos( ) + cos (
+ )
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Gekoppelte Schwingung:
= -
+ ( - )
= -
-
-
Mit =
ist =
= -
+
=
-
=
-
+
-
+
=
Möglicher Ansatz: =
; =
,
,
= = (-
)
= -
= -
oder =
mit = -
B=
-
-
Bestimme Eigenwerte
:
| -
| = =
ö
.
= und
=
Eigenvektoren:
Zu
: ( -
) = 0 (oder Gleichungssystem lösen)
Zu
: ( -
) = 0
Hier =
1
1
und =
-1
1
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- Henrik May (Author), 2012, Mathematische Grundlagen und klassische Physik. Die wichtigsten Themen der klassischen Mechanik und Thermodynamik, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/301644
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