Ein kurzer, verständlicher Überblick zu den grundlegenden thermodynamischen Gesetzen und ihrer Anwendung anhand des Stirlingmotors
Wilhelmsgymnasium
M¨
unchen
Jahrgang 2012/2014
Abgabetermin: 12.11.2013
Thermodynamische Kreisprozesse
und ihre
theoretischen Grundlagen
Seminararbeit
im wissenschaftsprop¨
adeutischen Seminar
mit dem Rahmenthema
Experimentelles Praktikum, Ergebnisse kritisch beurteilen
Leitfach Physik
von
Johannes Aicher
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung: Historischer ¨
Uberblick ¨
uber die Entwicklung der Thermodynamik
3
2
Theoretische Betrachtungen zur W¨
armelehre
4
2.1
Zustandsgleichung idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
W¨
armemenge, spezifische W¨
arme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
1. Hauptsatz der Thermodynamik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Zustands¨
anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4.1
Isochore Zustands¨
anderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4.2
Isobare Zustands¨
anderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4.3
Isotherme Zustands¨
anderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4.4
Adiabatische Zustands¨
anderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4.5
Polytrope Zustands¨
anderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5
2. Hauptsatz der Thermodynamik, Entropie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5.1
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5.2
2. Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3
Kreisprozesse
13
3.1
Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Stirling-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2.1
Der Stirlingmotor als K¨
altemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.2
Der Stirlingmotor als W¨
armepumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.3
Auswertung der Versuche mit dem Stirling-Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.1
Bestimmung der Reibungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3.2
Bestimmung des Wirkungsgrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.4
Auswertung des Versuchs mit der Dampfmaschine
. . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4.1
Die Dampfmaschine im
p, V -Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.2
Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4
Schluss: Thermodynamik im Alltag
24
5
Anhang
25
5.1
Zu 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
Zu 2.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.3
Zu 2.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
6
Quellenverzeichnis
27
2
1
Einleitung: Historischer ¨
Uberblick ¨
uber die Entwicklung der
Thermodynamik
Das Lexikon
"
Der Brockhaus" bezeichnet die Thermodynamik als ein
"
Teilgebiet der Physik,
das sich mit W¨
armeerscheinungen, insbesondere der Umwandlung von W¨
arme in eine andere
Energieform (oder umgekehrt), befasst."
1
Doch Thermodynamik umfasst viel mehr als nur phy-
sikalische Formeln, f¨
ur Laien unverst¨
andliche S¨
atze oder Begriffe, die im gew¨
ohnlichen Sprach-
gebrauch nicht verwendet werden. Die Entdeckung thermodynamischer Vorg¨
ange und vor allem
ihre Nutzung hat das Leben der Menschen gewaltig ver¨
andert. Mit der Konstruktion der ersten
Dampfmaschine durch Thomas Newcomen 1712
2
begann eine beispiellose Entwicklung in der
Weltgeschichte. Die Verbesserungen von James Watt rund 60 Jahre sp¨
ater ebneten den Weg
zur Industrialisierung. Anfangs nur als Wasserpumpe verwendet, eroberte die Dampfmaschine
schnell andere Einsatzgebiete: In der Textilindustrie erm¨
oglichte sie schnelleres und arbeitsspa-
rendes Weben, daneben erlaubte sie als Dreschmaschine, die Nahrungsmittelproduktion erheb-
lich zu steigern. Nach weiteren Verbesserungen war die Fortbewegung in Dampfschiffen ab 1783
und in Dampflokomotiven ab 1825 keine Unm¨
oglichkeit mehr. Dadurch wurde das Reisen, wie
wir es kennen, erst realisierbar. Entfernungen stellten nicht mehr un¨
uberwindbare Hindernisse
und Wirtschaftsschranken dar. Sp¨
atestens jetzt war der Siegeszug thermodynamischer Kreispro-
zesse nicht mehr aufzuhalten, obwohl diese anfangs auch Wissenschaftlern unerkl¨
arbar waren, bis
der Franzose Sadi Carnot die physikalischen Vorg¨
ange in der Dampfmaschine 1824 untersuchte
und daraufhin den carnotschen Kreisprozess entwickelte. Um 1850 gelangen dann weitere Durch-
br¨
uche in der physikalischen Beschreibung von thermodynamischen Vorg¨
angen: die ersten beiden
Haupts¨
atze der Thermodynamik wurden aufgestellt. 1886 kam der Konstrukteur Carl Benz auf
die Idee, einen Motor in ein Fahrzeug einzubauen. Im selben Jahr baute Gottlieb Daimler eine
motorbetriebene Kutsche, damit legten beide den Grundstein f¨
ur das Automobil. Zur selben
Zeit erforschte unter anderem Ludwig Boltzmann die Thermodynamik auf Teilchenebene. Heute
gibt es ¨
uber eine Milliarde Kraftfahrzeuge auf der Welt, die Zahl der nach Kreisprozessen lau-
fenden Maschinen ist nochmals gr¨
oßer. Ob handtellergroße Stirlingmotoren, die bei geringsten
Temperaturunterschieden funktionieren oder aber gewaltige Turbinen in Kraftwerken, die Leis-
tungen im Gigawattbereich liefern mithilfe eines Kreisprozesses k¨
onnen alle diese Vorg¨
ange
beschrieben werden. Die Industrialisierung, unser modernes Leben w¨
are ohne das Verst¨
andnis
und die Anwendung von thermodynamischen Abl¨
aufen und Prozessen unm¨
oglich dennoch sind
sie vielen Menschen unbekannt. Daher sollen hier die thermodynamischen Vorg¨
ange, die sich hin-
ter Kreisprozessen verbergen, genauso aufgezeigt werden wie praktische Beispiele anhand des
Stirlingmotors und der Dampfmaschine.
1
Der Brockhaus Lexikon in 5 B¨anden [5], Stichwort
"
Thermodynamik"
2
siehe Internetquellen [I]
3
2
Theoretische Betrachtungen zur W¨
armelehre
2.1
Zustandsgleichung idealer Gase
Lange Zeit war der Begriff der W¨
arme schwer verst¨
andlich und physikalisch nicht erkl¨
arbar. Im
18. Jhd. erkl¨
arte die Wissenschaft mithilfe der sog.
"
Phlogistontheorie" W¨
arme, der zufolge es in
jedem K¨
orper einen W¨
armestoff (Phlogiston) gibt. Diese Substanz stellt quasi die Temperatur
dar, die ein K¨
orper enth¨
alt. Diese Theorie wurde jedoch ad absurdum gef¨
uhrt durch die me-
chanische W¨
armetheorie, welche im 19. Jhd. insbesondere von Kr¨
onig, Clausius, Maxwell und
Boltzmann aufgestellt und ausgebaut wurde.
3
Zur einfachen mathematischen Beschreibung der W¨
armeerscheinungen wurde das sogenannte
"
ideale Gas" eingef¨
uhrt. Ein ideales Gas zeichnet sich auf Teilchenebene dadurch aus, dass die
Teilchen punktf¨
ormig, also ausdehnungslos, sind. Außerdem ¨
uben die Teilchen keine Kr¨
afte auf-
einander aus. Reale Gase verhalten sich insbesondere bei Temperaturen nahe des Siedepunkts
anders als ein ideales Gas, auch wenn z. Bsp. Helium einem idealen Gas so nahe kommt, dass
es zur Temperaturdefinition genutzt wird. Da die kinetische Theorie der W¨
arme nur bedingt
thermodynamische Kreisprozesse betrifft, wird hier nicht ausf¨
uhrlich auf die mathematische Be-
schreibung derselben eingegangen; Wichtig ist aber der Aspekt, dass sich mit Hilfe eines idealen
Gases die Beziehungen der Zustandsgr¨
oßen Druck, Volumen und Temperatur zueinander aus-
dr¨
ucken lassen. Diese lassen sich in folgender Gleichung zusammenfassen:
4
p
1
V
1
T
1
=
p
2
V
2
T
2
oder
p · V
T
=
const.
Diese Gleichung ist als allgemeine Gasgleichung bekannt. Die Herleitung der Formel aus den
Gasgesetzen von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac findet sich im Anhang.
Nach dem Gesetz von Avogadro nimmt eine bestimmte Teichenzahl eines Gases unter Nor-
malbedingungen (
p = 1013 hPa, T = 273, 15 K) immer dasselbe Volumen ein: so hat die Stoff-
menge 1 mol immer ein Volumen von 22,414 l. Damit liegt es nahe, mit Hilfe dieses Wertes die
Konstante der allgemeinen Gasgleichung zu berechnen:
R =
p
0
· V
0
T
0
=
1013
· 10
2
N
· m
-2
· 22, 414 m
3
· mol
-1
273
, 15K
= 8
, 31 J · mol
-1
· K
-1
R heißt universelle Gaskonstante. Sie hat die Einheit [R] = J · mol
-1
· K
-1
.
Offensichtlich ist die allgemeine Gasgleichung abh¨
angig von der Teilchenzahl
n. Dies ber¨uck-
sichtigt die universelle Gasgleichung:
pV = nRT
(1)
2.2
W¨
armemenge, spezifische W¨
arme
Die kinetische Gastheorie, auf die im vorhergehenden Abschnitt kurz eingegangen wurde, ist
nicht nur deshalb von Bedeutung, weil sie das ideale Gas einf¨
uhrte. Vielmehr zeigt die kineti-
sche Deutung der W¨
armevorg¨
ange, dass die W¨
arme eine Energie ist, die auf die drei Grundgr¨
oßen
3
siehe u. a. Hahne [1] S. 58 und Internetquellen [II]
4
siehe u. a. Kuhn [2] S. 51, Lindner [4] S. 195 und Internetquellen [III]
4
2
THEORETISCHE BETRACHTUNGEN ZUR W ¨
ARMELEHRE
L¨
ange, Masse und Zeit zur¨
uckgef¨
uhrt werden kann, also die Umwandlung in andere Energiefor-
men m¨
oglich ist.
5
Lange wurde dies angezweifelt, die W¨
arme wurde f¨
ur etwas anderes als die
mechanische Energie gehalten, was allein schon dadurch gezeigt wird, dass die Einheit f¨
ur die
Energiemenge eines K¨
orpers bis 1977 die Kalorie war.
Oft h¨
ort man, dass sich Erde schneller abk¨
uhlt als Wasser, weshalb Temperaturschwankungen in
meernahen Gebieten meist geringer ausfallen als im Landesinneren. Offensichtlich ben¨
otigt man
f¨
ur dieselbe Temperaturerh¨
ohung unterschiedliche W¨
armemengen. Die zur Erw¨
armung eines
K¨
orpers n¨
otige W¨
armemenge ist von der Beschaffenheit des Stoffes, seiner Masse und nat¨
urlich
der Differenz zwischen Anfangs- und Endtemperatur abh¨
angig, berechnet sich also folgender-
maßen:
6
Q = cm · dT
(2)
c ist die spezifische W¨armekapazit¨at; sie zeigt an, wie viel Energie zugef¨uhrt werden muss,
um ein Kilogramm eines Materials um ein K zu erh¨
ohen, die Einheit ist also: [
c] = J·kg
-1
· K
-1
.
Verwendet man statt der Masse die Teilchenzahl, schreibt man
C
m
(der Index
m steht f¨ur
"
Mol"),
die Einheit ¨
andert sich entsprechend; dann gilt:
Q = C
m
n · T .
Dabei muss beachtet werden, ob die Temperaturerh¨
ohung bei konstantem Druck oder bei kon-
stantem Volumen vorgenommen wird:
c
v
(bzw.
C
m,v
) gilt f¨
ur
V = const., c
p
(und
C
m,p
) bei
p = const.; beim Vergleich beider Kostanten f¨allt auf, dass immer gilt: c
p
> c
v
.
Dies zeigt, dass sich eine Gasmenge bei konstantem Volumen st¨
arker erw¨
armt als bei konstan-
tem Druck, wenn jeweils dieselbe W¨
armemenge zugef¨
uhrt wird; diese Erscheinung l¨
asst sich
damit erkl¨
aren, dass bei konstantem Druck, also bei Ausdehnung des Gases, dieses gegen den
Umgebungsdruck arbeitet, also Energie
"
verbraucht" wird.
2.3
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Bereits im vorhergehenden Abschnitt wurde erl¨
autert, dass die W¨
armemenge, die einem K¨
orper
zugef¨
uhrt wird, eine Energieform ist. Folglich hat dieser K¨
orper eine Gesamtenergie, die als
innere Energie
U bezeichnet wird. Bei einem idealen Gas ist diese die Summe der kineti-
schen Energien aller Teilchen. Selbstverst¨
andlich gilt auch f¨
ur Gase der Energieerhaltungssatz,
d. h. wird die innere Energie
U eines Gases erh¨oht, muss daf¨ur entweder mechanische Arbeit W
verrichtet worden sein (meist durch Kompression), oder dem Gas wurde eine W¨
armemenge
Q
zugef¨
uhrt. Diesen Zusammenhang erl¨
autert der 1. Hauptsatz der Thermodynamik:
U = Q + W
Hier werden nur geschlossene, ruhende Systeme betrachtet. Bei dieser Formulierung gilt: wird
vom Gas Arbeit verrichtet, ist
W negativ, wird W¨arme abgegeben, ist Q negativ.
7
Die Vorzeichenregelung f¨
ur die Arbeit wird in der Literatur teilweise auch anders angegeben;
so formuliert Helmut Lindner in
"
Physik f¨
ur Ingenieure" den 1. Hauptsatz der Thermodynamik
folgendermaßen:
5
vgl. Lindner [4] S.184
6
siehe u. a. Kuhn: [2], S. 54 ff., oder Lindner: [4], S. 203 ff., und Internetquellen [IV]
7
siehe u. a. Hahne: [1], S. 61f., oder Kuhn: [2], S. 64, und Internetquellen [V]
5
2
THEORETISCHE BETRACHTUNGEN ZUR W ¨
ARMELEHRE
"
Wird einem Gas die W¨
armemenge
Q zugef¨uhrt, so kann es dadurch seine innere
Energie
U erh¨ohen und außerdem mechanische Arbeit W verrichten."
8
Oder:
Q = U + W
(3)
Diese Formulierung unterscheidet sich nur im Vorzeichen der Arbeit von der vorhergehenden
Gleichung, hier ist vom Gas verrichtete Arbeit positiv. F¨
ur die folgenden Gleichungen wird diese
Vorzeichenregelung verwendet.
Es wurde im vorhergehenden Kapitel bereits darauf hingewiesen, dass eine Ausdehnung des
Gases W¨
arme, also Energie,
"
verbraucht", da es Arbeit gegen den Umgebungsdruck verrichtet.
Diese vom Gas geleistete Arbeit
W l¨asst sich berechnen: W = F · s, F = p · A und V = A · s,
also folgt:
W = F · s = p · A · s = p · V
(4)
Hier zeigt sich der Vorteil der gew¨
ahlten Vorzeichenregelung: ist
V
1
< V
2
, findet eine Entspan-
nung statt, vom Gas wird Arbeit verrichtet, die nach Gl. (3) und nach Gl. (4) positiv ist.
Ist die Volumen¨
anderung
V und die zugef¨uhrte W¨armemenge Q sehr klein, bekommt der
1. Hauptsatz also folgende Form:
Q = dU + p · dV
(5)
Als praktische Abk¨
urzung wurde die Zustandsgr¨
oße Enthalpie
H eingef¨uhrt,
9
sie zeigt an,
welche W¨
armemenge z. Bsp. bei einer chemischen Reaktion an die Umgebung abgegeben wird:
H = U + pV und
H = U + pV
2.4
Zustands¨
anderungen
10
2.4.1
Isochore Zustands¨
anderung
Eine isochore Zustands¨
anderung (von gr.
= gleich und = Raum) beschreibt eine Zu-
stands¨
anderung bei konstantem Volumen. Daher ist d
V = 0, es wird also nach Gleichung (5)
keine Arbeit verrichtet:
Q = dU
Offensichtlich f¨
uhrt eine W¨
armezufuhr ausschließlich zu einer Erh¨
ohung der inneren Energie.
Dies zeigt, was Gay-Lussac in einem bekannten Versuch best¨
atigt hat: L¨
asst man ein Gas, das
die gleiche Temperatur wie die Umgebung hat, in ein Vakuum str¨
omen (ohne dass es Arbeit ver-
richtet), nimmt dieses Gas keine W¨
arme auf oder gibt sie ab, obwohl sich sein Volumen ¨
andert.
Daher beeinflusst eine Volumen¨
anderung die innere Energie nicht, sondern diese ist nur von der
Temperatur abh¨
angig.
Die Temperaturerh¨
ohung l¨
asst sich nach Gl. (2) berechnen:
Q = dU = c
v
m · dT . Mit dieser
Erkenntnis kann der 1. Hauptsatz also auch folgendermaßen geschrieben werden:
Q = c
v
m · dT + p · dV
(6)
8
siehe Lindner: [4], S. 220
9
siehe Hahne: [1] S. 67 und Internetquellen [VI]
10
Die Formeln und Erkenntnisse des Kapitels 2.4 folgen zu großen Teilen Lindner [4], S. 220 ff.; allerdings wurde
neben einigen Erg¨
anzungen in einigen F¨
allen
statt d geschrieben (zur Unterscheidung siehe u.a. Hahne [1],
S. 77 ff. und Internetquellen [VII])
6
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- Johannes Aicher (Author), 2013, Thermodynamische Kreisprozesse und ihre theoretischen Grundlagen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/268351
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