Eine Vielzahl von ökonomischen, technischen bzw. naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen sich modellhaft durch lineare Gleichungssysteme abbilden. Zur Behandlung solcher Gleichungssysteme in kom¬pakter Form werden sogenannte Matrizen genutzt. Auch werden oft größere Datenblöcke, die häufig in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, in Matrizenform verarbeitet, da sich die Beziehun¬gen zwischen den Datenblöcken durch die Schreibweise übersichtlicher darstellen und berechnen lassen. Die Bezeichnung Matrizen und das Rechnen mit ihnen führen auf den Mathemati¬ker Arthur Cayley (1821-1895) zurück. Die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen ist Gegenstand der Linearen Algebra.
Das erste Kapitel soll die mathematischen Grundlagen für das Thema Matrizen schaffen, d.h. die erforderlichen Definitionen zu Matrizen erläutern und die im späteren Verlauf der Arbeit genutzten Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) allgemein sowie an einfachen Beispielen erklären.
Im Hauptkapitel meiner Arbeit stelle ich unterschiedliche Anwendungsbeispiele vor, bei denen Matri¬zen zur Problembeschreibung und -lösung eingesetzt werden können.
Als erste Anwendung wird ein Ansatz zur Bedarfsplanung als Teilaufgabe der Produktionsplanung untersucht. Zentraler Begriff ist hierbei die Bedarfsmatrix. Die Grundidee des Verfahrens soll anhand verschiedener Beispiele und Fragestellungen dargestellt werden.
Der zweite Anwendungsfall beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen. Als besondere Klasse von stochastischen Prozessen sollen für sogenannte Markow-Ketten mit Hilfe der Matrizenrechnung ausgewählte Fragestellungen beleuchtet werden. In diesem Zusammenhang soll der Begriff der Über¬gangsmatrix eingeführt werden.
Die Untersuchung von Populationsprozessen, die als stochastische zyklische Prozesse zu verstehen sind, dient als letztes Anwendungsfeld von Matrizen. Auch hier sollen mittels eines einführenden Beispiels unterschiedliche Fragestellungen und deren mathematische Lösung vermittelt werden.
Zum Abschluss soll als Zusammenfassung eine kurze Bewertung der Anwendungsfälle erfolgen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Matrizen - Mathematische Grundlagen
- Definitionen
- Rechenoperationen
- Addition und Subtraktion
- Multiplikation mit einem Skalar
- Multiplikation zweier Matrizen
- Inverse
- Anwendungsbeispiele
- Bedarfsplanung
- Beispiel einer einstufigen Produktion
- Beispiel für einen mehrstufigen Produktionsprozess
- Behandlung praxisrelevanter Erzeugnisstrukturen
- Stochastische Prozesse - Markow-Ketten
- Ein einführendes Beispiel
- Die Berechnung der Grenzverteilung
- Populationsprozesse - Zyklische Prozesse
- Ein einführendes Beispiel
- Aussagen zur Populationsentwicklung
- Bedarfsplanung
- Zusammenfasung
- Literatur
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Facharbeit untersucht die Anwendung von Matrizen in verschiedenen Bereichen. Ziel ist es, die mathematischen Grundlagen von Matrizen zu erläutern und deren praktische Anwendung anhand konkreter Beispiele aus der Bedarfsplanung, stochastischen Prozessen (Markow-Ketten) und Populationsprozessen zu demonstrieren.
- Mathematische Grundlagen von Matrizen
- Anwendungsbeispiel: Bedarfsplanung in der Produktion
- Anwendungsbeispiel: Stochastische Prozesse und Markow-Ketten
- Anwendungsbeispiel: Populationsentwicklung als zyklischer Prozess
- Zusammenfassende Bewertung der Anwendungsbeispiele
Zusammenfassung der Kapitel
Einleitung: Die Einleitung führt in die Thematik ein und beschreibt die Bedeutung von Matrizen zur Lösung linearer Gleichungssysteme und zur Verarbeitung großer Datenmengen, insbesondere in den Wirtschaftswissenschaften. Sie gibt einen Überblick über den Aufbau der Arbeit, wobei die mathematischen Grundlagen im zweiten Kapitel behandelt und im Hauptteil verschiedene Anwendungsbeispiele vorgestellt werden, darunter die Bedarfsplanung, stochastische Prozesse (Markow-Ketten) und Populationsprozesse.
Matrizen - Mathematische Grundlagen: Dieses Kapitel legt die mathematischen Grundlagen für die spätere Anwendung von Matrizen dar. Es definiert Matrizen, beschreibt deren Eigenschaften (z.B. quadratische, symmetrische, Diagonalmatrizen) und erläutert die grundlegenden Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matrizen, einschließlich der zugehörigen Gesetze (Kommutativ- und Assoziativgesetz).
Anwendungsbeispiele: Dieses Kapitel präsentiert verschiedene Anwendungsfälle von Matrizen. Es behandelt die Bedarfsplanung im Detail und erklärt, wie Bedarfsmatrizen verwendet werden, um den Bedarf an Rohstoffen und Zwischenprodukten in einstufigen und mehrstufigen Produktionsprozessen zu ermitteln und praxisrelevante Erzeugnisstrukturen zu berücksichtigen. Darüber hinaus werden stochastische Prozesse, insbesondere Markow-Ketten, mit Hilfe der Matrizenrechnung untersucht, wobei der Begriff der Übergangsmatrix eingeführt und die Berechnung der Grenzverteilung erklärt wird. Schließlich wird die Anwendung von Matrizen bei der Analyse zyklischer Populationsprozesse demonstriert, um deren Entwicklung zu modellieren und zu prognostizieren.
Schlüsselwörter
Matrizen, Lineare Algebra, Bedarfsplanung, Bedarfsmatrix, Stochastische Prozesse, Markow-Ketten, Übergangsmatrix, Grenzverteilung, Populationsprozesse, Zyklische Prozesse, Rechenoperationen, lineare Gleichungssysteme.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zur Facharbeit: Anwendung von Matrizen
Was ist der Inhalt dieser Facharbeit?
Die Facharbeit befasst sich mit der Anwendung von Matrizen in verschiedenen Bereichen. Sie erläutert die mathematischen Grundlagen von Matrizen und demonstriert deren praktische Anwendung anhand konkreter Beispiele aus der Bedarfsplanung, stochastischen Prozessen (Markow-Ketten) und Populationsprozessen. Die Arbeit beinhaltet eine Einleitung, ein Kapitel zu den mathematischen Grundlagen von Matrizen, ein Kapitel mit Anwendungsbeispielen und eine Zusammenfassung.
Welche mathematischen Grundlagen werden behandelt?
Die Arbeit behandelt die Definition von Matrizen, deren Eigenschaften (z.B. quadratische, symmetrische, Diagonalmatrizen) und die grundlegenden Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion und Multiplikation von Matrizen, inklusive der zugehörigen Gesetze (Kommutativ- und Assoziativgesetz).
Welche Anwendungsbeispiele werden vorgestellt?
Die Facharbeit präsentiert Anwendungsbeispiele aus der Bedarfsplanung (einstufige und mehrstufige Produktionsprozesse, praxisrelevante Erzeugnisstrukturen), stochastische Prozesse (Markow-Ketten, Berechnung der Grenzverteilung) und Populationsprozesse (zyklische Prozesse, Modellierung und Prognose der Populationsentwicklung).
Wie wird die Bedarfsplanung mit Matrizen erklärt?
Die Bedarfsplanung wird detailliert erklärt, indem gezeigt wird, wie Bedarfsmatrizen verwendet werden, um den Bedarf an Rohstoffen und Zwischenprodukten in einstufigen und mehrstufigen Produktionsprozessen zu ermitteln und praxisrelevante Erzeugnisstrukturen zu berücksichtigen.
Wie werden stochastische Prozesse und Markow-Ketten behandelt?
Stochastische Prozesse, insbesondere Markow-Ketten, werden mit Hilfe der Matrizenrechnung untersucht. Der Begriff der Übergangsmatrix wird eingeführt und die Berechnung der Grenzverteilung erklärt.
Wie werden Populationsprozesse modelliert?
Die Anwendung von Matrizen bei der Analyse zyklischer Populationsprozesse wird demonstriert, um deren Entwicklung zu modellieren und zu prognostizieren.
Welche Schlüsselwörter beschreiben die Facharbeit?
Schlüsselwörter sind: Matrizen, Lineare Algebra, Bedarfsplanung, Bedarfsmatrix, Stochastische Prozesse, Markow-Ketten, Übergangsmatrix, Grenzverteilung, Populationsprozesse, Zyklische Prozesse, Rechenoperationen, lineare Gleichungssysteme.
Welche Zielsetzung verfolgt die Arbeit?
Die Zielsetzung ist die Erläuterung der mathematischen Grundlagen von Matrizen und die Demonstration ihrer praktischen Anwendung anhand konkreter Beispiele aus verschiedenen Bereichen.
Gibt es eine Zusammenfassung der Kapitel?
Ja, die Arbeit enthält eine Zusammenfassung der Einleitung, der mathematischen Grundlagen und der Anwendungsbeispiele.
Wo finde ich die Literaturangaben?
Die Literaturangaben sind im Inhaltsverzeichnis aufgeführt und im entsprechenden Kapitel der Facharbeit detailliert angegeben (im vorliegenden Auszug nicht vollständig enthalten).
- Quote paper
- Kristina Kuhlmann (Author), 2011, Matrizen zur Beschreibung von Zustandsänderungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/173306
