In der vorliegenden Ausarbeitung wird eine Einführung in die Boolesche Algebra gegeben. Hierbei wird zunächst der Begründer George Boole vorgestellt, ehe grundlegende Gesetze und Operationen der booleschen Algebra aufgeführt werden. Die Ausführungen werden durch praxisnahe Beispiele ergänzt und einige Gesetze exemplarisch bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die boolesche Algebra
2 Grundlegende Operationen und Gesetze
2.1 Die Konjunktion
2.2 Die Disjunktion.
2.3 Die Negation
2.4 Satz 1
2.5 Satz 2
3 Literaturv erzeichnis
1 Einführung in die boolesche Algebra
Begründer und Namensgeber der booleschen Algebra ist der englische Mathematiker Ge- orge Boole. Boole wurde am 2. November 1815 in Lincoln geboren und starb am 18. Dezember 1864 in Ballintemple. Ursprünglich war er als Lehrer tätig, ehe er 1848 Ma- thematikprofessor am Queens College in Cork wurde. Boole begründete die moderne ma- thematische Logik, in dem er durch seine Algebra der Logik die klassische philosophische Logik formalisierte. Die Grundgedanken Booles wurden durch verschiedene Mathematiker, wie beispielsweise Ernst Schröder oder Giuseppe Peano, schließlich zu dem modifiziert was heute unter boolesche Algebra verstanden wird.1
Die boolesche Algebra findet im Alltag Anwendung beim Entwerfen von elektronischen Schaltungen bis hin zu Computern.
Dabei wird in der booleschen Algebra zunächst von den zwei Zuständen „wahr"; und „falsch"; ausgegangen. Diese entsprechen in einem elektronischen Schaltkreis den beiden möglichen Zuständen „Strom fließt"; und „Strom fließt nicht"; . Dieser Sachverhalt wird nun folgen- dermaßen mathematisch modelliert2: Grundsätzlich wird von der Menge {0,1} ausgegangen. Es stehen also lediglich die Ele- mente 0 und 1 zur Verfügung. Nun wird der Zustand „Strom fließt"; durch die Zahl 1 und der Zustand „Strom fließt nicht"; durch die Zahl 0 modelliert. Darauf aufbauend sind in der booleschen Algebra die drei Operationen Konjunktion, Disjunktion und Negation definiert. Diese sollen im nächsten Kapitel ausführlich behandelt werden.
2 Grundlegende Operationen und Gesetze
2.1 Die Konjunktion
Die Konjunktion ist eine binäre Verknüpfung, die somit also von genau zwei Argumenten abhängig ist. Die Konjunktion wird auch die „Und-Verknüpfung"; genannt und durch das mathematische Symbol ∧ in der Form a ∧ b ausgedrückt. Die Konjunktion ist per De- finition genau dann 1, wenn das ersteunddas zweite Argument 1 ist. In jedem anderen Fall ist sie 0. Veranschaulichen lässt sich die Konjunktion anhand einer sogenannten Ver- knüpfungstafel (vgl. Abbildung 1). Hier werden alle Verknüpfungsmöglichkeiten der beiden Argumente bezüglich einer Konjukntion dargestellt. Sie verdeutlicht, dass eine Konjunk- tion tatsächlich nur dann 1 ist, wenn beide Argumente ebenfalls 1 sind.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Verknüpfungstafel bezüglich der Konjunktion
Die Konjunktion lässt sich im Hinblick auf ihre praktische Anwendung leicht anhand einer Reihenschaltung verdeutlichen (vgl. Abbildung 2).
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 2: Eine Reihenschaltung 3
Die Argumente a und b stellen hier eine Reihenschaltung in einem Schaltkreis dar. Lo- gischerweise kann in diesem Schaltkreis nur Strom fließen, wenn beide Schalter, also die Argumente a und b geschlossen sind. Strom fließt also nur dann, wenn beide Schalter auf
„Strom fließt"; gestellt sind. In allen anderen Fällen ist der Stromkreis unterbrochen, Strom könnte somit nicht fließen. Dieser Sachverhalt wird durch eine Konjunktion ausgedrückt.
2.2 Die Disjunktion
Die Disjunktion ist ebenfalls eine binäre Verknüpfung. Sie wird auch die „Oder-Verknüpfung"; genannt und durch das mathematische Symbol ∨ in der Form a ∨ b dargestellt. Das „Oder"; dieser Disjunktion ist hier allerdings als „einschließendes Oder"; und nicht im Sinne von „entweder oder"; zu verstehen. Die Disjunktion ist per Definition genau dann 1, wenn das ersteoderdas zweite Argument 1 ist. Die Disjunktion ist also nur dann 0, wenn beide verknüpften Argumente ebenfalls 0 sind Fall. Auch diese Verknüpfung lässt sich wieder anhand einer Verknüpfungstafel verdeutlichen (vgl. Abbildung 3):
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 3: Verknüpfungstafel bezüglich der Disjunktion
Auch bei der Disjunktion wird der Alltagsbezug deutlich, wenn man sich eine Parallel- schaltung vorstellt (vgl. Abbildung 4).
[...]
1 vgl. http://teacher.schule.at/schaltalgebra/boole.html#biogr
2 vgl. Beutelspacher, 2007, S.191
3 http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/fm/694/3-486-58370-p.pdf
- Quote paper
- Stefan Kruse (Author), 2010, Einführung in die Boolesche Algebra, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/156155
