Im Jahr 1936 veröffentlichten Church und Turing ihre berühmte Church-Turing-Hypothese. Sie gilt als einer der Grundpfeiler der Berechenbarkeits- und Komplexitätstheorie, die in den vergangenen Jahrzehnten
eine beachtliche Entwicklung vollzogen haben. Bis vor kurzem beschränkte man sich in der Forschung in erster Linie auf die klassischen, abstrahierten Prinzipien der Informationstheorie und schenkte der physikalischen Natur von Information weniger Beachtung. Erst in den letzten Jahren kam der Gedanke auf, auch quantenmechanische Phänomene bei der Konstruktion von Computern auszunutzen. Einer der Vorreiter auf diesem Gebiet ist David Deutsch [1], der bei seinem Versuch, die Church-Turing-Hypothese zu beweisen, als erster
(Quanten-)Physik als Grundlage benutzte. Dabei stellte er fest, dass
die klassische Komplexitätstheorie nicht ohne weiteres mit der (physikalischen)
Realität vereinbar ist. Sie bedurfte einer Erweiterung. Die daraus entstandene Quantenkomplexitätstheorie setzt sich zum Ziel, eine weitgreifendere Definition von "Komplexität" und "Wissen" in einem physikalischem System zu geben. Dabei muß nicht zuletzt auch die Church-Turing-Hypothese erweitert und präzisiert werden. Auf dieser Grundlage ist es letztendlich möglich, eine universelle Quanten-Turing-Maschine zu konstruieren. Im ersten Teil dieser Arbeit werde ich die Ideen von David Deutsch skizzieren und mich dann im zweiten Teil der Quantenturingmaschine (QTM) widmen, die im letzten Kapitel zu einer universellen Quantenturingmaschine ausgebaut werden soll.
Inhaltsverzeichnis
- Zusammenfassung
- Das Church-Turing Prinzip im physikalischen Kontext
- Quanten-Turing-Maschinen
- Definition der QTM
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Diese Arbeit untersucht die Erweiterung des Church-Turing-Prinzips in den Kontext der Quantenmechanik. Sie beleuchtet die Grenzen klassischer Computermodelle im Hinblick auf die physikalische Realität und entwickelt das Konzept der universellen Quanten-Turing-Maschine.
- Das Church-Turing-Prinzip und seine Grenzen
- Die physikalische Interpretation von Berechenbarkeit
- Definition und Eigenschaften der Quanten-Turing-Maschine (QTM)
- Entwicklung einer universellen Quanten-Turing-Maschine
- Die Rolle der Quantenmechanik in der Komplexitätstheorie
Zusammenfassung der Kapitel
Zusammenfassung: Die Einleitung skizziert die Entwicklung der Berechenbarkeitstheorie und die zunehmende Bedeutung der Quantenmechanik für das Verständnis von Rechenprozessen. Sie führt die Church-Turing-Hypothese ein und deutet auf die Notwendigkeit ihrer Erweiterung im Kontext der Quantenphysik hin. Der Text kündigt die Darstellung der Ideen von David Deutsch und die Konstruktion einer universellen Quanten-Turing-Maschine an.
Das Church-Turing Prinzip im physikalischen Kontext: Dieses Kapitel hinterfragt das fundamentale Church-Turing-Prinzip im Licht neuer Erkenntnisse aus der Physik. Es argumentiert, dass klassische Computer nur eine unzureichende Annäherung an die physikalische Realität darstellen, da Rechenprozesse letztlich physikalische Prozesse sind. Der Text vergleicht die konventionelle, nicht-physikalische Formulierung der Church-Turing-Hypothese mit einer physikalisch fundierten Version von Deutsch, welche „perfekte Simulation“ physikalischer Systeme durch eine universelle Rechenmaschine postuliert. Es wird betont, dass die universelle Turingmaschine durch ein allgemeineres Modell mit endlichen Mitteln ersetzt werden muss, um dem physikalischen Kontext gerecht zu werden. Quantencomputer werden als mögliche Kandidaten für diese erweiterte Definition vorgestellt.
Quanten-Turing-Maschinen: Dieses Kapitel definiert die Quanten-Turing-Maschine (QTM) detailliert. Im Gegensatz zur klassischen Turingmaschine erlaubt die QTM komplexe Amplituden in Superpositionen. Die Definition umfasst die Überführungsfunktion, die Konfigurationen, und die Zeitevolution des Systems. Besondere Beachtung wird der Wahrscheinlichkeitserhaltung durch die euklidische Norm der Superpositionen geschenkt. Der Text erläutert die Definition wohlgeformter QTMs, die quantenphysikalischen Gesetzen genügen. Weiterhin werden Regeln für die Beobachtung und Messung von QTMs eingeführt, einschließlich partieller Messungen. Es wird betont, dass sich die Beschränkung auf Messungen an angehaltenen QTMs nicht auf die Berechnungsstärke auswirkt.
Schlüsselwörter
Church-Turing-Hypothese, Quantencomputer, Quanten-Turing-Maschine (QTM), Quantenkomplexitätstheorie, Berechenbarkeit, physikalische Simulation, Superposition, Zeitevolutionsoperator, komplexe Amplituden, perfekte Simulation, endliche Mittel.
Häufig gestellte Fragen (FAQ) zu: Erweiterung des Church-Turing-Prinzips in den Kontext der Quantenmechanik
Was ist der Gegenstand dieser Arbeit?
Die Arbeit untersucht die Erweiterung des Church-Turing-Prinzips auf die Quantenmechanik. Sie beleuchtet die Grenzen klassischer Computermodelle im Hinblick auf die physikalische Realität und entwickelt das Konzept der universellen Quanten-Turing-Maschine.
Welche Themen werden behandelt?
Die zentralen Themen sind: Das Church-Turing-Prinzip und seine Grenzen, die physikalische Interpretation von Berechenbarkeit, die Definition und Eigenschaften der Quanten-Turing-Maschine (QTM), die Entwicklung einer universellen Quanten-Turing-Maschine und die Rolle der Quantenmechanik in der Komplexitätstheorie.
Was ist die Church-Turing-Hypothese und warum ist sie relevant?
Die Church-Turing-Hypothese besagt, dass alle berechenbaren Funktionen von einer Turingmaschine berechnet werden können. Die Arbeit hinterfragt diese Hypothese im Kontext der Quantenphysik, da klassische Computer nur eine Annäherung an die physikalische Realität darstellen und Quantencomputer möglicherweise mehr leisten können.
Was ist eine Quanten-Turing-Maschine (QTM)?
Eine QTM ist eine Erweiterung der klassischen Turingmaschine, die Superpositionen und komplexe Amplituden erlaubt. Die Definition umfasst die Überführungsfunktion, die Konfigurationen und die Zeitevolution des Systems. Im Gegensatz zur klassischen Turingmaschine kann sie Berechnungen auf eine Weise durchführen, die für klassische Computer nicht möglich ist.
Wie wird eine universelle Quanten-Turing-Maschine definiert?
Die Arbeit strebt die Entwicklung einer universellen Quanten-Turing-Maschine an, ein Modell das fähig ist, jede andere QTM zu simulieren. Dies erfordert eine Erweiterung des klassischen Modells, um dem physikalischen Kontext gerecht zu werden.
Welche Rolle spielt die Quantenmechanik in der Komplexitätstheorie?
Die Arbeit untersucht, wie die Quantenmechanik die Komplexitätstheorie beeinflusst. Quantencomputer könnten Probleme lösen, die für klassische Computer unlösbar oder extrem aufwendig sind.
Welche Schlüsselbegriffe sind wichtig zum Verständnis?
Wichtige Schlüsselbegriffe sind: Church-Turing-Hypothese, Quantencomputer, Quanten-Turing-Maschine (QTM), Quantenkomplexitätstheorie, Berechenbarkeit, physikalische Simulation, Superposition, Zeitevolutionsoperator, komplexe Amplituden, perfekte Simulation, endliche Mittel.
Wie ist der Text strukturiert?
Der Text beinhaltet eine Zusammenfassung, eine detaillierte Betrachtung des Church-Turing-Prinzips im physikalischen Kontext, eine genaue Definition der Quanten-Turing-Maschine und ein Kapitel über die Schlüsselwörter.
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- Matthias Schmeißer (Author), 2003, Die universelle Quantenturingmaschine, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/113190
