Diese Facharbeit befasst sich mit der Euler´schen Zahl, wird dabei aber über die Schulmathematik hinausgehen Dabei werden einerseits zwei verschiedene Verfahren erläutert und angewandt, wie die Euler´sche Zahl ermittelt werden kann, andererseits wird mit Hilfe der Anwendung der Taylorreihenentwicklung die natürliche Exponentialfunktion, zumindest in einem bestimmten Intervall, approximiert.
Diese Anwendung ist, im Gegensatz zu den Herleitungsverfahren der Euler´schen Zahl: Intervallschachtelung und mithilfe der Exponentialreihe, keineswegs Inhalt der Schulmathematik, wobei die anderen beiden Kernthemen nur eine nebensächliche Rolle im Mathematikunterricht spielen. Jedoch wird bei der gesamten Bearbeitung dieser Facharbeit darauf geachtet, unbekannte Verfahren zu erläutern und verständlich darzustellen, um nicht ein zu großes Vorwissen zum Verständnis zu verlangen. Dadurch wird, hoffentlich für alle, die Besonderheit dieser einzigartigen Zahl und der damit verbundenen Funktion deutlich.
Inhaltsverzeichnis
- Vorbemerkung
- 1. Einleitung
- 2. Intervallschachtelung von e
- 2.1. Allgemeine Definition
- 2.2. Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip
- 2.3. Intervallschachtelung am Beispiel der Euler'schen Zahl e
- 3. Taylorreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion
- 3.1. Allgemeine Erklärung
- 3.2. Mathematische Definition
- 3.3. Herleitung von Tn und Rn
- 3.4. Anwendung für die natürliche Exponentialfunktion fx = ex
- 4. Darstellung von e als Exponentialreihe
- 4.1. Darstellungsweise
- 4.2. Herleitung
- 5. Schluss
- 6. Literaturverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Facharbeit verfolgt das Ziel, die Euler'sche Zahl und die natürliche Exponentialfunktion über den Rahmen des Schulstoffs hinaus zu untersuchen. Es werden verschiedene Verfahren zur Ermittlung der Euler'schen Zahl erläutert und angewendet, darunter die Intervallschachtelung und die Darstellung als Exponentialreihe. Die Arbeit beleuchtet zudem die Approximation der natürlichen Exponentialfunktion mittels Taylorreihenentwicklung.
- Ermittlung der Euler'schen Zahl mittels Intervallschachtelung
- Taylorreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion
- Darstellung der Euler'schen Zahl als Exponentialreihe
- Vergleich verschiedener Methoden zur Berechnung der Euler'schen Zahl
- Veranschaulichung der Bedeutung der Euler'schen Zahl in der Mathematik
Zusammenfassung der Kapitel
1. Einleitung: Die Einleitung führt in das Thema ein und erläutert die Motivation der Autorin, sich intensiver mit der Euler'schen Zahl und der natürlichen Exponentialfunktion auseinanderzusetzen. Sie hebt die Bedeutung von Leonhard Eulers Werk hervor und betont den Mangel an tiefergehendem Verständnis dieser Konzepte im regulären Mathematikunterricht. Die Autorin beschreibt ihre Absicht, die Gedankengänge Eulers nachzuvollziehen und daraus Lehren für ihr eigenes mathematisches Verständnis zu ziehen. Sie kündigt die beiden Hauptmethoden zur Bestimmung der Euler'schen Zahl (Intervallschachtelung und Exponentialreihe) und die Approximation der natürlichen Exponentialfunktion mittels Taylorreihenentwicklung an.
2. Intervallschachtelung von e: Dieses Kapitel beschreibt die Methode der Intervallschachtelung zur Bestimmung reeller Zahlen. Es beginnt mit einer allgemeinen Definition und Erklärung des Prinzips, bei dem immer kleinere Intervalle gebildet werden, um die gesuchte Zahl einzuschränken. Es werden die notwendigen Bedingungen für eine gültige Intervallschachtelung detailliert erläutert, inklusive der mathematischen Beschreibung der Intervallfolge. Anschließend wird die Methode anhand der Euler'schen Zahl angewendet, wobei der Prozess der sukzessiven Annäherung an den Wert von e detailliert dargestellt wird. Die Bedeutung der Intervallschachtelung als Näherungsverfahren für reelle Zahlen wird hervorgehoben und durch verschiedene Beispiele veranschaulicht.
Schlüsselwörter
Euler'sche Zahl, natürliche Exponentialfunktion, Intervallschachtelung, Taylorreihenentwicklung, Exponentialreihe, Approximation, Leonhard Euler, Mathematik.
Häufig gestellte Fragen zur Facharbeit: Euler'sche Zahl und natürliche Exponentialfunktion
Was ist der Gegenstand der Facharbeit?
Die Facharbeit befasst sich eingehend mit der Euler'schen Zahl (e) und der natürlichen Exponentialfunktion. Sie geht über den Schulstoff hinaus und untersucht verschiedene Methoden zur Bestimmung der Euler'schen Zahl und zur Approximation der natürlichen Exponentialfunktion.
Welche Methoden zur Bestimmung der Euler'schen Zahl werden behandelt?
Die Arbeit behandelt zwei Hauptmethoden: die Intervallschachtelung und die Darstellung als Exponentialreihe. Beide Methoden werden detailliert erklärt und angewendet.
Was ist die Intervallschachtelung und wie wird sie angewendet?
Die Intervallschachtelung ist ein Verfahren zur Bestimmung reeller Zahlen durch die Konstruktion immer kleiner werdender Intervalle, die die gesuchte Zahl enthalten. Die Arbeit erläutert das allgemeine Prinzip und wendet es zur Annäherung an den Wert von e an.
Welche Rolle spielt die Taylorreihenentwicklung?
Die Taylorreihenentwicklung wird verwendet, um die natürliche Exponentialfunktion zu approximieren. Die Arbeit beschreibt die allgemeine Taylorreihenentwicklung und wendet sie speziell auf die Funktion f(x) = ex an.
Wie wird die Euler'sche Zahl als Exponentialreihe dargestellt?
Die Arbeit zeigt, wie die Euler'sche Zahl als unendliche Reihe (Exponentialreihe) dargestellt werden kann und leitet diese Darstellung her.
Welche weiteren Themen werden behandelt?
Neben den genannten Methoden beinhaltet die Arbeit eine Einleitung, die die Motivation und den Hintergrund der Arbeit erklärt, eine Zusammenfassung der einzelnen Kapitel, sowie ein Literaturverzeichnis und Schlüsselwörter.
Welche Ziele verfolgt die Facharbeit?
Die Facharbeit zielt darauf ab, ein tieferes Verständnis der Euler'schen Zahl und der natürlichen Exponentialfunktion zu vermitteln, verschiedene Berechnungsmethoden zu vergleichen und die Bedeutung dieser Konzepte in der Mathematik zu veranschaulichen.
Welche Kapitel umfasst die Arbeit?
Die Arbeit gliedert sich in folgende Kapitel: Vorbemerkung, Einleitung, Intervallschachtelung von e (mit Unterkapiteln), Taylorreihenentwicklung der natürlichen Exponentialfunktion (mit Unterkapiteln), Darstellung von e als Exponentialreihe (mit Unterkapiteln), Schluss und Literaturverzeichnis.
Wer ist die Zielgruppe der Facharbeit?
Die Facharbeit richtet sich an Personen, die ihr Wissen über die Euler'sche Zahl und die natürliche Exponentialfunktion vertiefen möchten und sich für die mathematischen Methoden ihrer Berechnung interessieren. Sie ist insbesondere für Schüler und Studenten geeignet, die bereits Grundkenntnisse in Mathematik besitzen.
Wo finde ich weitere Informationen?
Das Literaturverzeichnis der Facharbeit enthält weitere Quellen für vertiefende Informationen.
- Quote paper
- Anonym (Author), 2021, Die Euler´sche Zahl e. Spezielle Ausarbeitungen und die Taylorreihenentwicklung, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/1030957
