Physik-Aufgaben
1. Es ist das Trägheitsmoment einer Sehwungseheibe aus Stahl mit einem Durchmesser von 200mm und einer Höhe von 25mm bezüglich der Symmetrieachse zu bestimmen. (Dichte von Stahl g = 7,8g/em3)
Wie kann man das Trägheitsmoment der Scheibe durch konstruktive Veränderung um 20% erhöhen, ohne den Durchmesser zu vergrößern und ohne die Masse wesentlich zu verändern?
2. Die Arbeitsspindel einer Werkzeugmaschine (Drehzahl n = ббОтш-1) hat ein Trägheitsmoment von J = 0.4 kgm2 und die Bremskraft der Maschinenbremse beträgt F = 27.4N. Der Bremstrommeldurchmesser beträgt d = 180mm. Wie lange dauert das Abbremsen bis zum Stillstand der Trommel?
3. Wie groß ist der Drehimpuls der Erde?
4. Auf ein Schwungrad (Radius r = 0.5 m, Trägheitsmoment J = 5 kgm2) ist ein Seil gewickelt, an dem man mit der konstanten Kraft F = 300 N zieht.
(a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung a?
(b) Welche Winkelgeschwindigkeit ω und welche Rotationsenergie Erot hat das Rad nach ti = 10s erreicht?
(c) Nach welcher Zeit hat es eine Umdrehung ausgeführt?
(d) Wieviel Umdrehungen hat es in den ersten 10s ausgeführt?
Lösungen
1. Das Trägheitsmoment ist ganz allgemein
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Es ist also eine Eigenschaft, die von der Geometrie des Körpers, der Massenverteilung und der Lage der betrachteten Rotationsachse abhängt. Die letzte Bemerkung sagt aus, daß die gegebene Scheibe auch verschiedene Trägheitsmomente haben kann, je nachdem, um welche Achse man sie rotieren läßt.
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In dieser Aufgabe ist die Rotationsachse gleich der Symmetrieachse des Körpers. Eine Scheibe ist geometrisch nichts anderes als ein Vollzylinder. Glücklicherweise kann man die Trägheitsmomente einiger einfacher Körper bezüglich ihrer Symmetrieachsen im Tafelwerk nachlesen, z.B. ist für einen Zylinder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Formeln unterscheiden sich meist nur durch einen Vorfaktor.
Wenn man weiß, daß die Masse [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und daß das Zylindervolumen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann findet man für das Trägheitsmoment des Vollzylinders:
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Im zweiten Teil der Aufgabe soll man das Trägheitsmoment um 20% erhöhen. Das heißt, man will ein neues Trägheitsmoment J* mit:
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Da man am Durchmesser nichts ändern darf, können wir die Höhe des Zylinders vergrößern. Das heißt wir suchen die zugehörige Höhe h*. Setze nun für J* den gleichen Ausdruck ein wie für J nur mit einer neuen Höhe h*.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Man muß die Höhe also ebenfalls um 20% erhöhen, es ist h* = 30mm. Natürlich wird jetzt auch die Masse der Scheibe größer, genau um Am = gnr2(h* — h). Eine weitere Möglichkeit das Trägheitsmoment zu erhöhen liegt übrigens darin, die Masse weiter von der Rotationsachse weg zu verteilen.
2.Zunächst eine Skizze. Die Trommel bewegt sich anfangs mit konstanter Drehzahl (=Frequenz) also mit einer anfänglichen Winkelgeschwindigeit ω = 2πf. Die Kraft bremst die Trommel, wirkt also entgegen der Winkelgeschwindigkeit. Außerdem nehmen wir der Einfachheit halber an, daß F tangential an den Trommelumfang angreift, d.h. F Fr. Es ist ja in der Aufgabe auch kein spezieller Winkel gegeben.
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Nun gibt es mehrere Wege. Mir gefällt der folgende am besten.
1. Möglichkeit (Drehimpuls) Die Trommel hat einen Drehimpuls (vergleiche mit dem Impuls der Massenpunkte p = mv)
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Die Bremskraft verursacht ein zeitlich konstantes Drehmoment
M = Fr
und ändert den Drehimpuls (zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem angreifenden Drehmoment)
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Nur ω ist zeitlich veränderlich, man zieht J vor die Ableitung:
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F, г und J sind zeitlich konstant, also kann man schreiben:
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2. Möglichkeit
Man kann das auch lösen, wenn man sich erinnert, daß die Gesetze der Rotation ganz ähnlich denen der Translation der Massepunkte sind. Die Trommel wird mit konstanter Kraft gebremst, sie führt also eine gleichmäßig beschleunigte (bzw. verzögerte) Rotation aus. Vergleiche mit der Translation und nimm die analogen Größen. Dann ist das cu-/-Gesetz
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- ωο die Anfangs Winkelgeschwindigkeit: ωο = 2·ττη mit n = 650 min^1
- a die Winkelbeschleunigung; hier ist a negativ, da es eine verzögerte Bewegung ist. Ich schreibe deswegen —a. Mit dem Drehmoment bestimmt man (ganz analog zu F = ma):
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den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Kraft eingesetzt:
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So ist a auch wirklich negativ, denn F, г und J sind positiv.
- t die Zeit. Man kann ja mal anhand der Zeit überlegen, ob bisher alles noch sinnvoll ist. Bei t = 0 ist ω = ωο, alles klar das muß so sein. Mit wachsendem t wird die Trommel immer langsamer (a ist negativ), denn die Kraft bremst ja. Schließlich wird ω bei tf Null. Genau dieses tf suchen wir.
Wie kommen wir da ran? Wir setzen ω = 0 und stellen nach tf um. Man schreibt das so:
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Das Ergebnis kennen wir ja schon.
3. Man muß natürlich ein paar Daten über die Erde wissen. Sie ist eine Kugel! Außerdem ist
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Mit dem Trägheitsmoment einer Kugel (siehe Tafelwerk)
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4. Man mache sich die Verhältnisse wieder an einer Skizze klar. Die Kraft bewirkt ein Drehmoment an der Schwungscheibe und versetzt diese in Rotation. Die Kraft ist konstant. Also ist auch die Winkelbeschleunigung konstant. Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Rotation.
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Analog zur Translation gilt das ω-t-Gesetz (diesmal ist ωο = 0, weil die Schwungscheibe sich bei t = 0 noch nicht dreht):
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Jetzt kann man die gegebenen Größen einsetzen und erhält unter (b) für die Winkelgeschwindigkeit
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Dort setzt man dann einfach ω ein. Wieder fällt auf, daß man sich bei der Rotation nicht unbedingt viele neue Formeln merken muß, sofern man die Gleichungen der Translation kann. Die Rotationsformeln haben fast durchgängig ähnliche Gestalt, man muß lediglich die richtige analoge Größe zuordnen.
Um mit den Umdrehungen zu rechnen, will man den Drehwinkel in Abhängigkeit von der Zeit ermitteln. Einmal rum bedeutet nämlich einen Winkel von 2π. Entweder man integriert das ^-/-Gesetz nach t oder man erinnert sich daran, wie das analoge Gesetz der Translation aussah. In jedem Fall erhält man
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Winkel ψ ist in Umdrehungen и ausgedrückt immer das 27r-fache von u: φ = 2mi
Häufig gestellte Fragen
1. Aufgabe: Trägheitsmoment einer Schwungscheibe aus Stahl
Wie berechnet man das Trägheitsmoment einer Stahl-Schwungscheibe mit einem Durchmesser von 200 mm und einer Höhe von 25 mm bezüglich ihrer Symmetrieachse? (Dichte von Stahl g = 7,8 g/cm³)
2. Aufgabe: Erhöhung des Trägheitsmoments
Wie kann man das Trägheitsmoment der Scheibe konstruktiv um 20% erhöhen, ohne den Durchmesser zu vergrößern und ohne die Masse wesentlich zu verändern?
3. Aufgabe: Abbremsen einer Werkzeugmaschinenspindel
Die Arbeitsspindel einer Werkzeugmaschine (Drehzahl n = 650 min⁻¹) hat ein Trägheitsmoment von J = 0,4 kgm², und die Bremskraft der Maschinenbremse beträgt F = 27,4 N. Der Bremstrommeldurchmesser beträgt d = 180 mm. Wie lange dauert das Abbremsen bis zum Stillstand der Trommel?
4. Aufgabe: Drehimpuls der Erde
Wie groß ist der Drehimpuls der Erde?
5. Aufgabe: Schwungrad mit Seilzug
Auf ein Schwungrad (Radius r = 0,5 m, Trägheitsmoment J = 5 kgm²) ist ein Seil gewickelt, an dem man mit der konstanten Kraft F = 300 N zieht.
6. Aufgabe 5a: Winkelbeschleunigung
Wie groß ist die Winkelbeschleunigung α?
7. Aufgabe 5b: Winkelgeschwindigkeit und Rotationsenergie
Welche Winkelgeschwindigkeit ω und welche Rotationsenergie Erot hat das Rad nach t₁ = 10 s erreicht?
8. Aufgabe 5c: Zeit für eine Umdrehung
Nach welcher Zeit hat das Schwungrad eine Umdrehung ausgeführt?
9. Aufgabe 5d: Anzahl der Umdrehungen in 10s
Wieviel Umdrehungen hat das Schwungrad in den ersten 10 s ausgeführt?
10. Lösung: Allgemeines Trägheitsmoment
Das Trägheitsmoment ist eine Eigenschaft, die von der Geometrie des Körpers, der Massenverteilung und der Lage der betrachteten Rotationsachse abhängt.
11. Lösung: Trägheitsmoment eines Vollzylinders
Die Formel für das Trägheitsmoment eines Vollzylinders bezüglich seiner Symmetrieachse lautet: [Formel im Originaltext]
12. Lösung: Erhöhung der Zylinderhöhe
Um das Trägheitsmoment um 20% zu erhöhen, ohne den Durchmesser zu verändern, muss die Höhe des Zylinders ebenfalls um 20% erhöht werden.
13. Lösung: Berechnen der Abbremszeit mit Drehimpuls
Die Abbremszeit der Trommel kann mit dem Konzept des Drehimpulses berechnet werden, wobei die zeitliche Änderung des Drehimpulses gleich dem angreifenden Drehmoment ist.
14. Lösung: Berechnung der Abbremszeit durch Rotation Gesetze
Alternativ kann die Abbremszeit mit den Gesetzen der gleichmäßig beschleunigten (bzw. verzögerten) Rotation berechnet werden, analog zu den Gesetzen der Translation der Massepunkte.
15. Lösung: Benötigte Daten für Drehimpuls der Erde
Zur Berechnung des Drehimpulses der Erde sind folgende Daten erforderlich: Radius der Erde (R = 6370 km), Tagesdauer (T = 24 h) und Masse der Erde (m = 5,97 · 10^24 kg). Annahme: Die Erde ist eine Kugel.
16. Lösung: Trägheitsmoment einer Kugel
Das Trägheitsmoment einer Kugel lautet: [Formel im Originaltext]
17. Lösung: Winkelbeschleunigung bei konstanter Kraft am Seil
Bei einer konstanten Kraft an einem Seil, das auf ein Schwungrad gewickelt ist, ist auch die Winkelbeschleunigung konstant, was zu einer gleichmäßig beschleunigten Rotation führt.
18. Lösung: Umdrehungen und Winkel
Der Winkel φ in Umdrehungen u ausgedrückt ist immer das 2π-fache von u: φ = 2πu.
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- Christian Weber (Author), 2000, Aufgaben und Lösungen zum Thema Rotation starrer Körper, Munich, GRIN Verlag, https://www.hausarbeiten.de/document/100745
